Doğal sayıların 2,3,4,5,6,9 ve 10 ile kalansız(tam) bölünebilme kurallarını anlattık. Örneklerle çeşitlendirdiğimiz konu anlatımına mutlaka göz atın.
31 Temmuz 20269 dk okuma9 dk
Yayın: 31 Temmuz 2026
Tema
1. SAYILAR VE NİCELİKLER (1)
Öğrenme Çıktıları
2
MAT.6.1.2. Bir doğal sayının 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile tam bölünebilme kriterlerine ilişkin çıkarım yapabilme
a) Bir doğal sayının katlarını veya basamak değerlerini dikkate alarak 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10’a tam bölünebilme kriterleri ile ilgili varsayımlarda bulunur.
b) 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10’un katlarını ve basamak değerlerini inceleyerek genellemeleri belirler.
c) Elde ettiği genellemelerin, varsayımını karşılayıp karşılamadığını örnekler ile sınar.
ç) Bir doğal sayının 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile tam bölünebilmesindeki kriterlere ilişkin önerme sunar.
d) Bir doğal sayının 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile tam bölünebilmesindeki kriterlerin farklı durumlarda kullanışlılığını değerlendirir.
Neden Öğreniyoruz?
Bir çiftçi, ürünlerini eşit ağırlıktaki paketlere ayırmak isteyebilir. Bir öğretmen, öğrencileri eşit takımlara ayırırken hızlı karar vermek isteyebilir. Bir mağazada ürün sayısını kolilere paylaştırırken de kalan oluşmaması önemlidir. Bu durumlarda her sayıyı uzun uzun bölmek yerine kalansız bölünebilme kurallarından yararlanırız. Şimdi bu kuralları günlük yaşam örnekleriyle keşfedelim.
Konu Anlatımı: Kalansız Bölünebilme Kuralları
Bir doğal sayı başka bir doğal sayıya bölündüğünde kalan sıfırsa, bu işlem kalansız bölünmedir. Örneğin, 24÷6=4 olduğu için 24 sayısı 6 ile kalansız bölünür. Bazı sayılara bölünebilme durumunu anlamak için bölme işlemi yapmamız gerekmez. Sayının son basamağına, son iki basamağına veya rakamları toplamına bakmamız yeterlidir.
Bir sayıyı incelerken önce sorunun hangi sayıyla ilgili olduğunu belirle. Sonra o sayıya ait ipucunu seç. Örneğin soru 5 ile bölünebilmeyi soruyorsa rakamları toplamaya gerek yoktur. Sadece birler basamağına bakmak yeterlidir. Bu seçim, işlemleri kısaltır ve hata yapma ihtimalini azaltır.
2, 5 ve 10 ile kalansız bölünebilme
Bir sayının 2 ile kalansız bölünüp bölünmediğini anlamak için birler basamağına bakarız. Birler basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 olan sayılar 2 ile kalansız bölünür. Bu rakamlar çift rakamlardır. Birler basamağı 1, 3, 5, 7 veya 9 olan sayılar 2 ile kalansız bölünmez.
Önemli Not
5 ile kalansız bölünebilmek için son basamak 0 veya 5 olmalıdır. 10 ile kalansız bölünebilmek için son basamak mutlaka 0 olmalıdır. Son basamağı 0 olan sayılar hem 2’ye hem 5’e hem de 10’a kalansız bölünür.
3 ve 9 ile kalansız bölünebilme
Bir sayının 3 veya 9 ile bölünüp bölünmediğini anlamak için rakamları toplamını buluruz. Rakamları toplamı 3’ün katı olan sayılar 3 ile kalansız bölünür. Rakamları toplamı 9’un katı olan sayılar 9 ile kalansız bölünür. Örneğin 2+4+5+1=12 olur. 12, 3’ün katıdır fakat 9’un katı değildir. Bu nedenle sayı 3’e bölünür, 9’a bölünmez.
4 ile kalansız bölünebilme
Bir sayının 4 ile kalansız bölünüp bölünmediğini anlamak için son iki basamağına bakarız. Son iki basamak 00 veya 4’ün katıysa sayı 4 ile kalansız bölünür. Örneğin 3 216 sayısının son iki basamağı 16’dır. 16, 4’ün katı olduğu için 3 216 sayısı 4’e kalansız bölünür. Sayının yüzler ve daha büyük basamakları bu kontrolde etkili değildir.
Son iki basamak kuralını kullanırken sayının tamamını bölmeye çalışma. 7 500 sayısında yalnızca 00’a bakarız ve sayı 4’e bölünür. 2 318 sayısında ise son iki basamak 18’dir. 18, 4’ün katı olmadığı için sayı 4’e kalansız bölünmez. Bu yöntem, büyük sayılarda özellikle kullanışlıdır.
6 ile kalansız bölünebilme
6 sayısı, 2 ile 3’ün çarpımıdır. Bu nedenle bir sayının 6 ile kalansız bölünebilmesi için sayı hem 2’ye hem de 3’e kalansız bölünmelidir. Sayının son basamağı çift olmalı, rakamları toplamı da 3’ün katı olmalıdır. Sadece bu koşullardan birini sağlamak yeterli değildir.
Kuralı Neden İki Kez Kontrol Ediyoruz?
Bir sayı 6’ya bölünecekse iki koşulu birlikte taşımalıdır. Örneğin 42 çifttir ve rakamları toplamı 6’dır. Bu nedenle 6’ya bölünür. 45’in rakamları toplamı 9’dur, fakat son basamağı çift değildir. Bu nedenle 45, 6’ya kalansız bölünmez.
Örnek 1: Fındık Paketleme
Bir çiftçi 75 kg fındık toplamıştır. Fındıkların tamamını 2 kg, 5 kg veya 10 kg’lık paketlere ayırabilir mi?
75’in son basamağı 5’tir. Bu yüzden 75, 5 ile kalansız bölünür. Son basamağı çift olmadığı için 2’ye bölünmez. Son basamağı 0 olmadığı için 10’a da bölünmez. Çiftçi yalnızca 5 kg’lık paketler kullanabilir.
Örnek 2: Sayı Kartları
Aşağıdaki sayılardan hangileri hem 2’ye hem 3’e kalansız bölünür: 246, 315, 728, 1 002?
246’nın son basamağı 6’dır ve rakamları toplamı 2+4+6=12’dir. Bu sayı hem 2’ye hem 3’e bölünür. 315, 3’e bölünse de çift değildir. 728 çifttir fakat rakamları toplamı 17’dir. 1 002 çifttir ve rakamları toplamı 1+0+0+2=3’tür. Cevap 246 ve 1 002’dir. Bu sayılar 6 ile de kalansız bölünür.
Örnek 3: Dijital Saat
Dijital saatte saat ve dakika yan yana yazılınca 14:28 için 1428 sayısı oluşuyor. Bu sayı 4 ve 6 ile kalansız bölünür mü?
1428’in son iki basamağı 28’dir. 28, 4’ün katı olduğu için sayı 4’e bölünür. Sayının son basamağı 8 olduğundan 2’ye bölünür. Rakamları toplamı 1+4+2+8=15 olduğundan 3’e de bölünür. Sayı hem 2’ye hem 3’e bölündüğü için 6’ya da kalansız bölünür.
Örnek 4: Eksik Rakam
52□ sayısının 3 ile kalansız bölünebilmesi için □ yerine hangi rakamlar yazılabilir? Bu sayının 2 ile de bölünebilmesi için hangi rakamlar uygun olur?
Bilinen rakamların toplamı 5+2=7’dir. 7’ye eklendiğinde 3’ün katı yapan rakamlar 2, 5 ve 8’dir. Bu nedenle □ yerine 2, 5 veya 8 yazılabilir. Sayının 2’ye de bölünmesi için son rakam çift olmalıdır. Uygun rakamlar 2 ve 8’dir. Sayılar 522 ve 528 olur.
Bağlam Temelli Problem: Sınıf Takımları
Bölünebilme kuralları, yalnızca test sorularında kullanılan bilgiler değildir. Bir otobüsteki koltukları eşit gruplara ayırırken, bir depodaki ürünleri kutulara yerleştirirken veya bir turnuvada takım sayısını belirlerken aynı düşünceden yararlanırız. Sayının hangi sayıya kalansız bölünüp bölünmediğini bilmek, planlamayı kolaylaştırır. Böylece zaman kaybetmeden uygun seçenekleri eleyebiliriz.
Bir problemi çözerken verilen bilgileri küçük ipuçlarına ayırabilirsin. “Çift sayıda kutu” ifadesi 2 kuralını, “beşerli paket” ifadesi 5 kuralını düşündürür. “Her pakette 10 ürün” deniyorsa 10 kuralına bakılır. “Eşit takımlara ayrılacak” ifadesi ise sayının belirli bir sayıya kalansız bölünmesini gerektirir. Böylece problem metnindeki günlük ifadeleri matematik diline çevirmiş olursun.
Bir sınıfta 36 öğrenci vardır. Öğretmen öğrencileri eşit sayıda takımlara ayıracaktır. Takım sayısının 2, 3, 4, 5, 6, 9 veya 10 ile ilişkisini incelemek için bölünebilme kurallarını kullanabiliriz. Örneğin 36’nın son basamağı çift olduğu için 2’ye bölünür. Rakamları toplamı 9 olduğu için 3’e ve 9’a da bölünür. Son iki basamağı 36, 4’ün katıdır. Bu nedenle 36, 2, 3, 4, 6 ve 9 ile kalansız bölünür; 5 ve 10 ile bölünmez.
Bu kontrol, öğretmenin takım seçeneklerini hızlıca belirlemesini sağlar. 36 öğrenci 2, 3, 4, 6 ve 9 eşit takıma ayrılabilir. Fakat 5 veya 10 eşit takıma ayrılırsa bazı öğrenciler açıkta kalır. Burada amaç sadece doğru cevabı bulmak değildir. Hangi kuralın neden kullanıldığını açıklamak da matematiksel düşünmenin önemli bir parçasıdır.
Örnek 5: Market Kolileri
Bir markette 1 260 şişe vardır. Şişeler 2’li, 5’li veya 10’lu kolilere eksiksiz yerleştirilebilir mi? Ayrıca 4’lü koliler için karar veriniz.
1 260’ın son basamağı 0’dır. Bu nedenle sayı 2, 5 ve 10 ile kalansız bölünür. Son iki basamağı 60’tır ve 60, 4’ün katıdır. Bu yüzden 1 260 sayısı 4 ile de kalansız bölünür. Market bütün bu koli seçeneklerini kullanabilir.
Örnek 6: En Büyük Sayıyı Bulma
Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük sayı hem 3’e hem 5’e kalansız bölünüyor. Bu sayı kaçtır?
5’e bölünebilmesi için son basamak 0 veya 5 olmalıdır. En büyük sayıyı aradığımız için yüzler basamağına 9, onlar basamağına 8 yazmayı deneriz. 985 sayısının rakamları toplamı 22’dir ve 3’ün katı değildir. Son basamağı 5 olan 975 sayısının rakamları toplamı 9+7+5=21’dir. 21, 3’ün katı olduğu için aranan sayı 975’tir. Rakamları birbirinden farklıdır.
Örnek 7: Kuralı Seçme
Bir kütüphanede 2 436 kitap vardır. Kitaplar 3’lü, 4’lü, 6’lı veya 9’lu raf gruplarına kalansız yerleştirilebilir mi? Her kararınızı uygun kuralla açıklayınız.
Rakamları toplamı 2+4+3+6=15 olduğundan 2 436 sayısı 3’e bölünür. 15, 9’un katı olmadığı için 9’a bölünmez. Son iki basamak 36 olduğundan 4’e bölünür. Son basamak 6 ve rakamları toplamı 15 olduğu için hem 2’ye hem 3’e bölünür; dolayısıyla 6’ya da bölünür. Cevap: 3’lü, 4’lü ve 6’lı gruplar mümkündür. 9’lu gruplar mümkün değildir.
Sık Yapılan Hatalar
3 ve 9 için yalnızca son basamağa bakılmaz; rakamlar toplanır. 4 için bütün rakamlar değil, son iki basamak incelenir. 6’ya bölünebilmek için yalnızca çift olmak yetmez, sayı 3’e de bölünmelidir. 5 ile 10’un kuralları karıştırılmamalıdır. Son basamak 5 ise sayı 5’e bölünür, fakat 10’a bölünmez.
Kendin Dene: Hangi Kuralı Kullanmalıyım?
Aşağıdaki sayıları inceleyerek her biri için kullanılacak en kısa yolu seç: 640, 729, 1 124, 2 035 ve 3 042. 640 için son basamak ve son iki basamak bilgisi yeterlidir. 729 için rakamları toplamını bulmalısın. 1 124 için 4 kuralı son iki basamakla incelenir. 2 035 için 5 kuralı, 3 042 için ise 2 ve 3 kuralları birlikte kullanılabilir.
Cevabını yazarken yalnızca “bölünür” veya “bölünmez” demekle yetinme. Hangi ipucunu kullandığını da belirt. Örneğin 729’un rakamları toplamı 7+2+9=18 olduğu için 3’e ve 9’a bölünür. Bu açıklama, hem kuralı doğru kullandığını hem de sonucu kontrol ettiğini gösterir.
Örnek 8: Ulaşım Kartları
Bir otobüs firmasının 2 718 yolcu bileti vardır. Biletler 6’şarlı gruplara ayrılabilir mi? Aynı sayı 9’arlı gruplara ayrılabilir mi?
2 718’in son basamağı 8 olduğu için sayı 2’ye bölünür. Rakamları toplamı 2+7+1+8=18 olduğundan 3’e ve 9’a da bölünür. Hem 2’ye hem 3’e bölündüğü için 6’ya kalansız bölünür. Rakamları toplamı 18, 9’un katı olduğu için 9’arlı gruplar da mümkündür. Biletler hem 6’şarlı hem 9’arlı gruplara ayrılabilir.
Bir sayının birden fazla kurala uyması mümkündür. Örneğin son basamağı 0 olan bir sayı kesinlikle 2, 5 ve 10 ile bölünür. Rakamları toplamı da 3’ün katıysa 3 ve 6 için ek koşulları sağlayabilir. Son iki basamağı 4’ün katıysa 4 kuralı da sağlanır. Bu nedenle sorularda tek bir sayı için birkaç kuralı sırayla kontrol edebiliriz.
Kontrol sırasını kendin için düzenleyebilirsin. Önce son basamağa bakarak 2, 5 ve 10 durumlarını incelemek hızlıdır. Sonra son iki basamağa bakarak 4 durumunu kontrol edebilirsin. En son rakamları toplamını bulup 3 ve 9 durumlarını inceleyebilirsin. 6 sorularında ise 2 ve 3 kontrollerini birlikte yapmalısın.
Örneğin 8 124 sayısını ele alalım. Son basamağı 4 olduğu için 2’ye bölünür, fakat 5 ve 10’a bölünmez. Son iki basamağı 24 olduğu için 4’e bölünür. Rakamları toplamı 8+1+2+4=15 olduğundan 3’e bölünür, fakat 9’a bölünmez. Hem 2’ye hem 3’e bölündüğü için 6’ya da kalansız bölünür.
Bazen soru, kuralı doğrudan söylemez. “Ürünler beşerli kutulara konuyor ve hiç ürün artmıyor.” cümlesi 5 ile kalansız bölünebilmeyi anlatır. “Sayının son iki basamağı incelendiğinde karar veriliyor.” ifadesi 4 kuralını hatırlatır. Metindeki bu ipuçlarını fark etmek, bağlam temelli soruları çözmeyi kolaylaştırır.
Kısa Tekrar ve Kontrol
Şimdi kuralları bir sayı üzerinde birlikte sınayabilirsin. Örneğin 5 760 sayısının son basamağı 0’dır. Bu nedenle 2, 5 ve 10’a bölünür. Son iki basamak 60 olduğu için 4’e de bölünür. Rakamları toplamı 5+7+6=18 olduğundan 3’e ve 9’a bölünür. Hem 2’ye hem 3’e bölündüğü için 6’ya da kalansız bölünür. Böylece tek bir sayının bütün kuralları sağlayıp sağlamadığını hızlıca inceleyebiliriz.
Kendini denemek için 3 150, 2 718 ve 4 005 sayılarını karşılaştırabilirsin. 3 150’nin son basamağı 0, son iki basamağı 50 ve rakamları toplamı 9’dur. 2 718’in son basamağı çift, rakamları toplamı 18 ve son iki basamağı 18’dir. 4 005’in son basamağı 5, rakamları toplamı 9’dur. Her sayı için önce hangi ipucunun kullanılacağını seç. Ardından kuralı uygulayıp kararını kısa bir cümleyle açıklamaya çalış.
Özet
2: Son basamak 0, 2, 4, 6 veya 8 olmalı. 3: Rakamlar toplamı 3’ün katı olmalı. 4: Son iki basamak 00 veya 4’ün katı olmalı. 5: Son basamak 0 veya 5 olmalı. 6: Sayı hem 2’ye hem 3’e bölünmeli. 9: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. 10: Son basamak 0 olmalı. Bir kuralı ezberlemek kadar, kuralın neden işe yaradığını farklı sayılarla denemek de önemlidir.