Ortak Katlar, Ortak Bölenler ve Aralarında Asal Sayılar
6. Sınıf TYMM öğretim programı ile uyumlu ortak bölen, ortak kat ve aralarında asal sayılar kavramlarının anlatıldığı konu anlatımımıza göz atın.
1 Ağustos 20267 dk okuma7 dk
Yayın: 1 Ağustos 2026
Tema
1. SAYILAR VE NİCELİKLER (1)
Öğrenme Çıktıları
4
MAT.6.1.4. Günlük hayat problemleri ya da matematiksel durumlar üzerinden ortak kat ve ortak böleni yorumlayabilme
a) Problemlerde ya da matematiksel durumlarda verilen iki sayının ortak katlarını ve ortak bölenlerini inceler.
b) İncelediği ortak kat veya ortak bölen ilişkilerini çizim, tablo ve sayı doğrusu gibi matematiksel temsillerle ifade eder.
c) İki sayının ortak katlarını ve ortak bölenlerini kendi ifadelerini kullanarak açıklar.
Neden Öğreniyoruz?
Bir okulda iki etkinlik farklı aralıklarla düzenlenebilir. Biri 3 günde, diğeri 4 günde bir yapılırsa birlikte hangi gün buluşacaklarını nasıl buluruz? Ortak katlar bu sorulara cevap verir. Meyveleri eşit kutulara yerleştirirken veya yağları eşit şişelere doldururken ortak bölenlerden yararlanırız. İki sayının tek ortak böleni 1 ise bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Şimdi bu ilişkileri, kitaptaki etkinlik ve problem düzenine benzer şekilde inceleyelim.
Ortak Katlar, Ortak Bölenler ve Aralarında Asal Sayılar
Bu konuda iki doğal sayının katlarını ve bölenlerini karşılaştıracağız. Önce sayıların kendi katlarını ve bölenlerini yazacağız. Daha sonra iki listede ortak bulunan sayıları belirleyeceğiz. Bu yöntem, günlük yaşam problemlerini düzenli ve kolay çözmemizi sağlar.
Katlar, bir sayının 1, 2, 3 gibi doğal sayılarla çarpılmasıyla oluşur. Bölenler ise bir sayıyı kalansız bölen doğal sayılardır. Ortak katlar tekrar eden durumları, ortak bölenler ise eşit paylaştırma durumlarını gösterir.
Ortak Katlar
İki doğal sayının katlarından ortak olanlarına ortak katlar denir. Örneğin 2'nin katları 2, 4, 6, 8, 10, 12 şeklinde ilerler. 3'ün katları ise 3, 6, 9, 12, 15 şeklinde devam eder. İki listede bulunan ortak sayılar 6, 12, 18 ve daha fazlasıdır.
Ortak katları bulmak için iki sayının katlarını ayrı ayrı yazabiliriz. Listelerde aynı görünen sayıları işaretleriz. İlk ortak kat bulunduktan sonra, aynı düzenle daha büyük ortak katlar yazılır. Soruda verilen aralığa göre yalnızca gerekli ortak katları seçeriz.
Bilgi kutusu
Bir sayı hem 4'ün hem 6'nın katıysa ortak kattır. Örneğin 12, 4'ün de 6'nın da katıdır. Bu nedenle 12, 4 ile 6'nın ortak katlarından biridir.
Ortak Bölenler
İki doğal sayının bölenlerinden ortak olanlarına ortak bölenler denir. Örneğin 12'nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. 18'in bölenleri 1, 2, 3, 6, 9 ve 18'dir. Bu iki sayının ortak bölenleri 1, 2, 3 ve 6 olur.
Bölenler, sayıyı kalansız bölen sayılardır. Bu yüzden bir sayının bölenlerini yazarken bölme işleminin kalanını kontrol ederiz. Ortak bölenler, nesneleri eşit gruplara ayırırken kullanılır. Ortak bölenlerin sayısı sınırlıdır ve listedeki sayılar bitince işlem tamamlanır.
Bilgi kutusu
Bir sayının 1'i ve kendisi her zaman bölenidir. İki doğal sayının ortak bölenleri arasında 1 mutlaka bulunur. Bu bilgi, aralarında asal sayıları belirlerken bize yardımcı olur.
Aralarında Asal Sayılar
İki doğal sayının 1'den başka ortak böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır. Örneğin 8'in bölenleri 1, 2, 4 ve 8'dir. 15'in bölenleri 1, 3, 5 ve 15'tir. Ortak bölenleri yalnızca 1 olduğu için 8 ile 15 aralarında asaldır.
Aralarında asal sayılar mutlaka asal sayı olmak zorunda değildir. 8 ve 15 sayılarının ikisi de asal değildir, fakat aralarında asaldır. Ayrıca 1 sayısı, her doğal sayıyla aralarında asaldır. Çünkü 1'in başka doğal sayı böleni bulunmaz.
Çözümlü Örnekler
Şimdi kitaptaki problem ve örnek düzenine benzer sorular çözelim. Kat sorularında tekrar eden zamanları veya miktarları arayacağız. Bölen sorularında eşit ve artıksız paylaşım seçeneklerini bulacağız. Her çözümde önce bilgileri listelemek, sonra ortak olanları seçmek işimizi kolaylaştırır.
Bir soruda hangi işlemi kullanacağımıza dikkat etmeliyiz. Bir olay belli aralıklarla tekrarlanıyorsa ortak katları ararız. Bir miktar eşit parçalara ayrılıyorsa ortak bölenleri inceleriz. Ortak bölen yalnızca 1 olduğunda ise sayılar aralarında asaldır.
Ortak Katları Bulma
Örnek 1
Bir öğretmen 3 günde bir, başka bir öğretmen 4 günde bir nöbet tutuyor. İkisi bugün birlikte nöbet tuttu. Sonraki 30 gün içinde hangi günlerde birlikte nöbet tutarlar?
3'ün 30'dan küçük katları 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 ve 27'dir. 4'ün 30'dan küçük katları 4, 8, 12, 16, 20, 24 ve 28'dir. İki listede ortak bulunan sayılar 12 ve 24'tür. Bu öğretmenler 12. ve 24. günlerde yeniden birlikte nöbet tutar.
Sayı doğrusunda 3'ün ve 4'ün katlarını işaretlersek 12 ile 24'te işaretler çakışır. Bu çakışmalar ortak katları gösterir.
Örnek 2
12 ve 18 sayılarının 100'den küçük ortak katlarını bulunuz.
12'nin katları 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 ve 96'dır. 18'in katları 18, 36, 54, 72 ve 90'dır. İki listede ortak olan ve 100'den küçük kalan sayılar 36 ve 72'dir. Bu nedenle aranan ortak katlar 36 ve 72 olur.
Kontrol için 36=12×3=18×2 ve 72=12×6=18×4 yazabiliriz.
Ortak Bölen Problemleri
Örnek 3
24 kilogram yaş mama ve 18 kilogram kuru mama, barınaklara artmayacak şekilde dağıtılacaktır. Her tür mamadan bir barınağa verilecek eşit miktar kaç kilogram olabilir?
24'ün bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'tür. 18'in bölenleri 1, 2, 3, 6, 9 ve 18'dir. Ortak bölenler 1, 2, 3 ve 6'dır. Bu nedenle bir barınağa verilecek miktar 1, 2, 3 veya 6 kilogram olabilir.
Örneğin her barınağa 6 kilogram yaş mama verilirse 24/6=4 barınak desteklenir. Kuru mama için 18/6=3 işlemi yapılır.
Örnek 4
20 santimetre ve 30 santimetre uzunluğundaki iki boru, eşit uzunlukta parçalara ayrılacaktır. Bir parçanın alabileceği uzunlukları bulunuz. En uzun parça kaç santimetre olur?
20'nin bölenleri 1, 2, 4, 5, 10 ve 20'dir. 30'un bölenleri 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 ve 30'dur. Ortak bölenler 1, 2, 5 ve 10'dur. Parçaların uzunluğu 1, 2, 5 veya 10 santimetre olabilir.
Bu değerler içindeki en büyük sayı 10'dur. Bu nedenle en uzun eş parça 10 santimetre olur.
Aralarında Asal Sayıları Belirleme
Örnek 5
Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangileri aralarında asaldır: 8 ve 15, 14 ve 21, 17 ve 24, 1 ve 9?
8 ve 15'in ortak böleni yalnızca 1'dir. Bu nedenle 8 ve 15 aralarında asaldır. 14 ve 21'in 1'den başka ortak böleni 7 olduğu için bu çift aralarında asal değildir.
17 ve 24'ün ortak böleni yalnızca 1'dir. Bu yüzden 17 ve 24 aralarında asaldır. 1 ve 9 da aralarında asaldır, çünkü 1'in dışında ortak bölen bulunmaz.
Aralarında asal olan çiftler 8 ve 15, 17 ve 24, ayrıca 1 ve 9'dur.
Günlük Hayat Problemlerinde Kullanım
Ortak katlar, belirli aralıklarla tekrarlanan olayların buluşma zamanını gösterir. Örneğin iki doktor farklı günlerde nöbet tutabilir. Bir otobüs 6 günde, başka bir otobüs 8 günde bir geliyorsa birlikte geliş günlerini ortak katlarla buluruz.
Ortak bölenler ise eşit paylaşım ve eşit uzunluk problemlerinde kullanılır. Mama, meyve, yağ veya boru parçaları artmayacaksa ortak bölenleri ararız. Sorudaki “eşit”, “artmayacak” ve “aynı uzunlukta” ifadeleri bize önemli ipuçları verir.
Örnek 6
Bir servis aracı 6 günde bir, bakım ekibi 8 günde bir okula geliyor. Bugün birlikte geldiklerine göre 50 gün içinde yeniden hangi günlerde birlikte gelirler?
6'nın katları 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 ve 48'dir. 8'in katları 8, 16, 24, 32, 40 ve 48'dir. Ortak katlar 24 ve 48 olduğundan ekipler 24. ve 48. günlerde birlikte gelir.
Burada 6 ve 8'in ortak bölenleri 1 ve 2'dir. Bu bilgi, sayıların aralarında asal olmadığını da gösterir.
Sık Yapılan Hatalar
Kat ile böleni birbirine karıştırmak, bu konudaki en yaygın hatadır. 4'ün katları 4, 8, 12 ve 16 gibi büyüyerek ilerler. 16'nın bölenleri ise 1, 2, 4, 8 ve 16 gibi sayıyı kalansız bölen değerlerdir.
Ortak bir sayı yalnızca bir listede bulunuyorsa cevap olamaz. Ayrıca ortak kat sorularında tek bir ortak kat bulup durmamalıyız. Soruda bir aralık verildiyse o aralıktaki bütün ortak katları kontrol etmeliyiz.
Dikkat!
Ortak kat için kat listelerini, ortak bölen için bölen listelerini yaz.
Aralarında asal sayılarda ortak bölenin yalnızca 1 olduğunu kontrol et.
İki sayının da asal olması, aralarında asal olmaları için şart değildir.
“En uzun” veya “en büyük” isteniyorsa ortak bölenlerin en büyüğünü seç.
Kat listesinde sorunun sınırını aşan sayıları cevaba ekleme.
Özet
İki sayının katlarından ortak olanlar ortak katları oluşturur. Ortak katlar, tekrarlanan olayların aynı zamana geldiği noktaları bulmamızı sağlar. İki sayının bölenlerinden ortak olanlar ortak bölenlerdir. Ortak bölenler, miktarları eşit ve artıksız bölüştürmemize yardım eder.
İki sayının 1'den başka ortak böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır. Bir problemde önce verilen sayıları ve istenen ilişkiyi belirle. Ardından kat veya bölen listelerini düzenli yaz, ortak değerleri işaretle ve cevabını kontrol et.
Konu Özeti
Ortak katlar, iki sayının kat listelerinde bulunan aynı sayılardır.
Ortak bölenler, iki sayıyı da kalansız bölen sayılardır.
Ortak böleni yalnızca 1 olan sayılar aralarında asaldır.
Tekrarlanan durumlarda ortak kat, eşit paylaşımda ortak bölen aranır.
Çözümün sonunda bulunan sayıları problemdeki koşullarla kontrol etmek gerekir.