Bugün matematikte çok eğlenceli ve yepyeni bir konuya başlıyoruz. Çarpanlar konusu günlük yaşantımızda sandığımızdan çok daha fazla karşımıza çıkar. Doğum gününüzde pastayı eşit şekilde dilimlerken aslında bu konuyu kullanırsınız. Arkadaşlarınıza eşit sayıda şeker dağıtmak istediğinizde yine çarpanlardan yararlanmanız gerekir. Dikdörtgen şeklinde güzel bir bahçe tasarlarken çarpanlar her zaman işimize yarar. Kısacası, bir bütünü eşit parçalara ayırmak için sürekli olarak çarpanları kullanıyoruz.
Bir Doğal Sayının Çarpanları Nelerdir?
Doğadaki her doğal sayıyı farklı sayıların çarpımı şeklinde yazmamız mümkündür. Çarpım durumunda bulunan bu sayıların her birine çarpan adını veriyoruz. Matematikte yeni doğal sayılar oluşturmak için iki sayıyı birbiriyle çarparız. İşte işlemi yaparken çarptığımız bu sayıların her biri birer çarpandır. Bu konunun temel mantığını öğrenmek sandığınızdan çok daha kolaydır. Soruları çözerken sadece çarpım tablosunu iyi bilmeniz sizin için yeterli olacaktır. Şimdi bu önemli kavramı daha detaylı ve adım adım inceleyelim.
Çarpanları Nasıl Buluruz?
Bir sayının çarpanlarını bulmak için her zaman sırayla işlem yapmalıyız. İşleme başlarken önce 1 sayısından yola çıkarak çeşitli denemeler yaparız. Hangi iki doğal sayının çarpımı bize o sayıyı tam olarak verir? Bu sorunun cevabını bulmak için sırayla düşünmek en güvenli yöntemdir. Bulduğunuz çarpanları küçükten büyüğe doğru yazmak işinizi her zaman kolaylaştırır. Böylece işlem yaparken hiçbir sayıyı veya çarpanı gözden kaçırmamış olursunuz.
Sırayla işlem yapmanın önemini size küçük bir örnekle hemen açıklamak istiyorum. Çarpanları dağınık bir şekilde düşünürseniz bazı sayıları unutma ihtimaliniz çok yüksektir. Fakat sırayla giderseniz tüm çarpanları eksiksiz bir şekilde bulmanız kesinleşmiş olur. Bu yöntem özellikle büyük sayılarla işlem yaparken hayatınızı ciddi anlamda kurtarır.
Çarpan ve Bölen Aynı Şeydir
Bir doğal sayının çarpanları, aynı zamanda o sayıyı kalansız böler. Yani bir sayıyı tam olarak bölen sayılara çarpan dememiz mümkündür. Çarpan ve bölen kelimeleri matematik dilinde tamamen aynı anlama gelmektedir.
Örnek 1: Dikdörtgenin Alanı
Alanı 12 metrekare olan dikdörtgen biçiminde bir arsa hayal edelim. Bu arsanın kenar uzunlukları mutlaka metre cinsinden doğal sayı olmalıdır. Arsanın kenar uzunluklarının kaçar metre olabileceğini hep birlikte hesaplayarak bulalım.
Dikdörtgenin alanını hesaplamak için kısa ve uzun kenarı çarpmamız gerekir. Çarpımları 12 eden doğal sayı çiftlerini sırayla ve dikkatlice düşünmeliyiz. İşleme başlarken ilk olarak 1 ile 12 sayılarının çarpımını kolayca yazabiliriz. Daha sonra 2 ile 6 sayılarının çarpımının 12 olduğunu hafızamızdan hemen hatırlayalım. İşleme devam ederek 3 ile 4 sayılarını da listemize ekleyebiliriz. Buna göre dikdörtgenin kenar uzunlukları üç farklı değer çifti alabilir. Demek ki 12 sayısının çarpanları 1,2,3,4,6 ve 12 sayılarıdır.
Çarpanlar ve Bölenler Arasındaki İlişki
Öğrenciler genellikle çarpan ve bölen kelimelerini birbirine karıştırarak hata yaparlar. Aslında bu iki önemli kelime matematikte tıpatıp aynı anlama gelir. Bir doğal sayının tüm çarpanları, o sayıyı her zaman kalansız böler. Bir doğal sayıyı kalansız bölen sayılara o sayının bölenleri denir. Dolayısıyla bir sayının çarpanları, aynı zamanda o doğal sayının bölenleridir. Sınavlarda soru çözerken bu temel kuralı aklınızdan asla çıkarmamalısınız.
Kalansız Bölme Kuralının Önemi
Bir sayının böleni demek, o sayıyı tam bölebilen doğal sayı demektir. Tam bölme işlemi, bölme sonucunda kalanın kesinlikle sıfır olması anlamına gelmektedir. Örneğin 12 sayısını 3 sayısına böldüğümüzde bölme işleminde kalan sıfır olur. Bu yüzden 3 sayısı, 12 sayısının hem çarpanı hem de tam bölenidir. Fakat 12 sayısını 5 sayısına bölersek işlem sonucunda mutlaka bir kalan oluşur. Demek ki 5 sayısı, 12 sayısının bir çarpanı veya kalansız böleni değildir. Bölenleri bulurken çarpım tablosunu zihninizden geçirmek işlem sürecini her zaman hızlandırır.
Örnek 2: 50 Sayısının Çarpanları
Çarpımları 50 olan farklı doğal sayı çiftlerini sırayla ve eksiksiz belirleyelim. Daha sonra 50 sayısını kalansız bölen tüm doğal sayıları dikkatlice bulalım. Son adımda bulduğumuz çarpanlar ve bölenler arasındaki özel ilişkiyi inceleyelim.
Hemen çarpımları 50 değerini veren sayıları sırayla kağıda yazmaya başlayalım. İlk olarak 1 ve 50 sayılarının çarpımını çok kolay bir şekilde buluruz. İkinci adım olarak 2 ve 25 diyerek işlemi hızlıca ilerletebiliriz. Üçüncü olarak çarpım tablosundan 5 ve 10 sayılarını kolayca hatırlarız. Şimdi 50 sayısının kalansız bölenlerine sırayla ve çok dikkatlice göz atalım. Bu sayılar 1,2,5,10,25 ve 50 rakamlarından oluşmaktadır. Gördüğünüz gibi bölenler ve çarpanlar matematikte tamamen aynı sayılardan meydana gelmektedir.
Çarpanları Bulurken Dikkat Edilmesi Gerekenler
Çarpanları bulurken bazı altın kuralları aklımızda tutmamız her zaman önemlidir. Sıfır hariç tüm doğal sayıların en küçük çarpanı her zaman 1 sayısıdır. Bir doğal sayının en büyük çarpanı ise o sayının kendisidir. Ayrıca sıfır hariç bir doğal sayının çarpanları tamamen sınırlı sayıdadır. Diğer bir deyişle sonsuza kadar devam eden bir çarpan listesi yoktur. Bu kuralları bilmek zor soruları çözerken size büyük hız kazandıracaktır.
Pratik Çözüm Stratejileri
Soruları daha hızlı çözmek için bazı küçük stratejiler geliştirmemiz çok faydalıdır. Mesela çift sayıların her zaman 2 sayısına tam bölündüğünü hepimiz biliyoruz. Bu bilgi sayesinde çift sayıların çarpanlarından birinin 2 olduğunu hemen anlarız. Ayrıca sonu sıfır veya beş ile biten doğal sayılar 5 sayısına bölünür. Bu tür pratik kurallar matematik sınavı esnasında size değerli zaman kazandırır. Böylece rakiplerinizin önüne geçerek zorlu sınavlarda çok daha yüksek notlar alabilirsiniz.
Örnek 3: Kitap Okuma Planı
Gülce 32 sayfalık kitabını her gün eşit sayfa okuyarak bitirmek istiyor. Gülce'nin bu kitabı bitirebileceği gün sayısının alabileceği farklı değerleri hesaplayarak belirleyelim.
Gülce'nin okuyacağı kitabı eşit sayfalara bölmesi problemiyle karşı karşıya bulunuyoruz. Bu yüzden 32 sayısının çarpanlarını yani kalansız bölenlerini hızlıca bulmalıyız. Sırayla çarpma işlemlerini düşünerek bölenleri çok kolay bir şekilde listeleyebiliriz. İlk adımda en küçük çarpan olan 1 sayısını zaten hepimiz biliyoruz. Sonra sırasıyla 2,4,8,16 ve 32 sayıları hemen aklımıza gelir. Böylece okuma gün sayıları 1,2,4,8,16 veya 32 olabilir.
Örnek 4: Çubuk Kesme Problemi
Ebrar'ın elinde 28 santimetre uzunluğunda kalınlığı eşit bir çubuk vardır. Ebrar bu çubuğu eşit uzunluktaki daha küçük parçalara ayırmak istiyor. Oluşacak parçaların uzunlukları santimetre cinsinden mutlaka doğal sayı olmak zorundadır. Ebrar kendi çubuğunu kaç farklı şekilde eşit parçalara ayırabilir?
Ebrar'ın çubuğu eşit parçalara bölmesi gerektiği soruda bize açıkça söylenmiş. Yani 28 sayısının kalansız bölenlerini küçükten büyüğe doğru sırayla bulmalıyız. Hemen çarpımları 28 değerini veren sayı çiftlerini sırayla defterimize düşünelim. İlk adımda her zamanki gibi 1 ve 28 sayılarını hemen yazarız. İkinci adımda aklımıza hemen 2 ve 14 sayıları gelecektir. Son olarak 4 ve 7 sayılarını bularak listemizi tamamen bitiririz. Ebrar çubuğunu 1,2,4,7,14 ve 28 santimetrelik parçalara ayırabilir. Yani toplamda altı farklı şekilde eşit parçalara ayırması matematiksel olarak mümkündür.
Sık Yapılan Hatalara Dikkat Edin
Bazen sayıların kendisini veya 1 sayısını çarpan olarak yazmayı unutabilirsiniz. Her sayının en küçük çarpanı kesinlikle ve her zaman 1 sayısıdır. Bir sayının en büyük çarpanı ise daima sayının kendisi olmak zorundadır. Ayrıca aynı sayıyı iki kez çarpan listesine eklememeye çok dikkat etmelisiniz. Bu basit kurallara dikkat ederseniz hiçbir matematik sorusunda hata yapmazsınız.
Konu Özeti
Bugün matematik dersinde çok önemli ve eğlenceli bir konuyu geride bıraktık. Her doğal sayının iki sayının çarpımı şeklinde yazılabileceğini artık iyice öğrendik. İşlem yaparken çarptığımız bu sayılara çarpan adını verdiğimizi artık net biliyorsunuz. Matematikte çarpan ve bölen kelimelerinin tamamen aynı anlama geldiğini asla unutmayın. Çarpanları bulurken sırayla gitmek hata yapmanızı kesinlikle engeller ve hız kazandırır. Artık çarpanlar konusuyla ilgili karşınıza çıkacak tüm problemleri çok rahatça çözebilirsiniz.
