6. sınıf asal sayılar ve asal çarpanlar konuları ile ilgili kurallar ve örnekler içeren konu anlatımımız ile kendinizi geliştirin!
Tema
MAT.6.1.3. Bir doğal sayının asal olma durumunu ve asal çarpanlarını çözümleyebilme
Bir sayıyı oluşturan parçaları bilmek, işlemleri kolaylaştırır. Örneğin 24 kalemi eşit gruplara ayırırken çarpanlarından yararlanırız. 24 sayısının çarpanları, hangi grup düzenlerinin kurulabileceğini gösterir.
Asal sayılar, doğal sayıların temel yapı taşları gibidir. Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırdığımızda, o sayının nasıl oluştuğunu görürüz. Bu bilgi, ileride kesirlerde, bölünebilme kurallarında ve ortak kat çalışmalarında işimize yarar.
Şimdi konuyu küçük adımlarla öğreneceğiz. Önce asal sayıyı tanıyacağız, sonra asal çarpanları bulacağız. Ardından iki farklı yöntemle sayıları çözümleyeceğiz.
Bir doğal sayıyı kalansız bölen doğal sayılara, o sayının çarpanları denir. Çarpanlar aynı zamanda bölen olarak da adlandırılır. Örneğin 12 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Çünkü bu sayılarla yapılan bölmelerde kalan oluşmaz.
Çarpanları bulurken çarpım çiftlerinden yararlanabiliriz. 12 sayısı , ve şeklinde yazılır. Bu çarpımlardaki bütün sayılar, 12'nin çarpanlarını oluşturur. Her doğal sayının 1 ve kendisi mutlaka çarpanıdır.
Sadece iki farklı doğal sayı çarpanı bulunan sayılara asal sayı denir. Bu çarpanlar her zaman 1 ve sayının kendisidir. Örneğin 23 sayısının çarpanları 1 ve 23 olduğu için 23 asaldır.
1 sayısının yalnızca bir çarpanı vardır. Bu nedenle 1 asal sayı değildir. En küçük asal sayı 2'dir ve 2, tek çift asal sayıdır.
İlk asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ve 23'tür. Bu sayılardan her birinin yalnızca iki çarpanı bulunur. 2 dışındaki bütün asal sayılar tektir. Çünkü ikiye bölünen her çift sayının 2 dışında başka çarpanları da vardır.
Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için çarpanlarını ararız. Çarpan sayısı ikiyse sayı asaldır. Örneğin 29'un çarpanları yalnızca 1 ve 29'dur. 21'in çarpanları 1, 3, 7 ve 21 olduğu için 21 asal değildir.
Son basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 olan sayılar, 2 dışında asal olamaz. Son basamağı 5 olan sayılar da 5 dışında asal olamaz.
Bir doğal sayının çarpanları arasındaki asal sayılara, o sayının asal çarpanları denir. Örneğin 60'ın çarpanları arasında 2, 3 ve 5 bulunur. Bu üç sayı asal olduğu için 60'ın asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
Bir sayının bütün çarpanları, asal çarpan olmak zorunda değildir. 60'ın 4, 6, 10, 12 ve 15 gibi asal olmayan çarpanları da vardır. Asal çarpanları kullanarak 60 sayısını şeklinde yazabiliriz.
1'den büyük her doğal sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu çarpımda aynı asal sayı birden fazla kez bulunabilir. Örneğin olur.
Bir sayının farklı asal çarpanlarını yazarken aynı sayıyı bir kez belirtiriz. 36'nın asal çarpanları 2 ve 3'tür.
Çarpan ağacında sayıyı iki çarpanın çarpımı şeklinde yazarız. Çarpanlardan biri asal değilse, onu yeniden iki çarpana ayırırız. Bütün dalların ucunda asal sayılar kaldığında işlem tamamlanır.
Örneğin 48 sayısı şeklinde ayrılır.
Asal çarpan algoritmasında sayıyı sırayla asal sayılara böleriz. Bölme işleminde kalan oluşmamalıdır. Bölüm 1 olduğunda kullanılan asal sayılar, başlangıç sayısının asal çarpanlarını verir.
Çarpan ağacı ve asal çarpan algoritması farklı görünür. Ancak iki yöntem de aynı asal çarpanları bulur.
Bu iki yöntemde seçim sırası değişebilir, fakat sonuç değişmez. Örneğin 24 sayısı hangi yöntemle ayrılırsa ayrılsın asal çarpanları 2 ve 3 olur. Asal çarpanların çarpımı, başlangıçtaki sayıyı yeniden vermelidir.
Şimdi öğrendiğimiz bilgileri farklı soru türlerinde kullanalım. Her çözümde önce verilenleri belirleyeceğiz. Sonra uygun yöntemi seçip işlemleri sırayla yapacağız.
Çözümleri incelerken yalnızca sonuca bakma. Hangi çarpanın neden seçildiğini anlamaya çalış. Böylece benzer soruları tek başına çözmen kolaylaşır.
31 sayısının asal olup olmadığını belirleyiniz.
31'in çarpım çiftlerini düşünelim. 31 yalnızca şeklinde yazılabilir. Bu nedenle 31'in iki farklı çarpanı vardır ve 31 asal sayıdır.
Cevap: asaldır.
84 sayısını çarpan ağacı yöntemiyle asal çarpanlarına ayırınız.
84 sayısını şeklinde ayıralım. 42 sayısını , 21 sayısını da şeklinde yazalım.
Böylece olur. 84'ün farklı asal çarpanları 2, 3 ve 7'dir.
150 sayısını asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazınız.
150 sayısı önce 2'ye, sonra 3'e bölünür. Kalan bölüm 25 olduğu için iki kez 5'e böleriz: , , , .
Bu işlemlerden sonucuna ulaşırız. Farklı asal çarpanlar 2, 3 ve 5'tir.
Kenar uzunlukları asal sayı olan ve alanı 20 br² ile 30 br² arasında bulunan dikdörtgenleri belirleyiniz. Çevrelerini hesaplayınız.
Alan, iki kenarın çarpımıdır. Asal kenarlarla 20 ile 30 arasındaki uygun çarpımlar , , ve şeklindedir.
Çevre formülü olur. Burada ve , dikdörtgenin kenar uzunluklarını gösterir. Çevreler sırasıyla 20 br, 26 br, 20 br ve 30 br'dir.
5□ iki basamaklı bir asal sayıdır. Kutuya yazılabilecek rakamların toplamını bulunuz.
50 ile 59 arasındaki sayıları inceleyelim. 51, 54 ve 57 sayıları 3'e bölünür. 52, 56 ve 58 çift olduğu için asal değildir. 55 ise 5'e bölünür.
Geriye 53 ve 59 kalır. Bu sayılar asaldır. Kutuya 3 ve 9 yazılabilir. Rakamların toplamı olur.
Asal sayılar konusunda bazı hatalar, tanımın eksik anlaşılmasından kaynaklanır. Özellikle 1 sayısı ve çift sayılar sıkça karıştırılır. İşlem sonunda bulduğun çarpanları mutlaka başlangıç sayısıyla kontrol et.
Bir sayının asal çarpanlarını bulduktan sonra çarpımı yeniden kur. Örneğin olmalıdır. Sonuç başlangıç sayısını vermiyorsa bölme veya çarpan seçme adımlarını yeniden incele.
Asal sayıların yalnızca iki farklı doğal sayı çarpanı vardır. Bu çarpanlar 1 ve sayının kendisidir. 1 asal değildir; 2 ise tek çift asal sayıdır.
Bir soruyu çözerken önce sayıların çarpan ilişkisini düşün. Ardından uygun yöntemi seç ve sonucun başlangıç sayısını verdiğini kontrol et.