7. Sınıf Rasyonel Sayılarla İşlemler ve Problem Çözme Konu Anlatımı • Matematik Saati

Neden Öğreniyoruz?

Rasyonel sayılar, günlük yaşamda miktarları ve değişimleri anlatır. Borç, sıcaklık, derinlik, süre ve uzaklık buna örnektir. Bir dalın parçalarını birleştirirken, kalan parayı hesaplarken veya bir kabı doldururken rasyonel sayılar kullanırız.

Bu konu, yalnızca işlem yapmayı öğretmez. Verilen bilgiyi anlamayı, uygun modeli seçmeyi ve sonucu kontrol etmeyi de geliştirir. Şimdi sayıları gerçek yaşam durumlarıyla ilişkilendirerek adım adım ilerleyelim.

Rasyonel Sayılarla İşlemler

Rasyonel sayı, $\frac{a}{b}$ biçiminde yazılabilen sayıdır. Burada $a$ tam sayı, $b$ ise sıfırdan farklı tam sayıdır. Pay ve payda aynı sayıyla çarpılırsa sayı değişmez. Bu nedenle $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{4}$ ve $\frac{4}{8}$ aynı değeri gösterir.

Pozitif sayılar sayı doğrusunda sıfırın sağında bulunur. Negatif sayılar sıfırın solunda bulunur. Sayı doğrusunda sağa ilerlemek toplama, sola ilerlemek çıkarma anlamına gelebilir. Negatif işaret, yalnızca tam kısma değil, rasyonel sayının tamamına aittir.

Paydaları Eşitle

Toplama ve çıkarma işleminden önce paydaları eşitle. Uygun ortak paydayı bulmak için genişletme veya sadeleştirme yapabilirsin. Paydalar eşitlenince yalnızca paylar üzerinde işlem yapılır.

Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Paydalar eşitse payları topla veya çıkar, paydayı aynen yaz. Paydalar farklıysa önce ortak payda bul. Çıkarma işlemini, eksilen sayıya çıkan sayının toplama işlemine göre tersini ekleyerek de yapabilirsin. İşaretleri değerlendirirken tam sayılardaki kuralları kullan.

Örneğin $\frac{3}{4} - \frac{5}{6}$ işleminde ortak payda 12 seçilir. İşlem $\frac{9}{12} - \frac{10}{12}$ olur ve sonuç $- \frac{1}{12}$ bulunur. Sonucun negatif olması, ikinci sayının daha büyük olduğunu gösterir.

Örnek 1: Dikey Hareket

Bir denizaltı deniz seviyesinin $\frac{3}{4}$ kilometre altında bulunuyor. Önce $\frac{1}{8}$ kilometre yükseliyor, ardından $\frac{1}{2}$ kilometre daha aşağı iniyor. Denizaltının son konumu nedir?

Başlangıç konumu $- \frac{3}{4}$ , yükselme $+ \frac{1}{8}$ ve iniş $- \frac{1}{2}$ olur. İlk hareket: $- \frac{3}{4} + \frac{1}{8} = - \frac{6}{8} + \frac{1}{8} = - \frac{5}{8}$ . İkinci hareket: $- \frac{5}{8} - \frac{1}{2} = - \frac{5}{8} - \frac{4}{8} = - \frac{9}{8}$ . Denizaltı, deniz seviyesinin $1 \frac{1}{8}$ kilometre altındadır. Sayı doğrusunda iki hareketi çizerek sonucu kontrol edebilirsin.

Çarpma ve Bölme İşlemleri

Rasyonel sayıları çarparken payları kendi arasında, paydaları kendi arasında çarp. İşaretleri tam sayılardaki çarpma kurallarıyla belirle. İşlemden önce çapraz sadeleştirme yapmak, sayıları küçültür ve hatayı azaltır. Tam sayılı kesirleri önce bileşik kesre çevirmen gerekir.

Rasyonel sayılarda bölme, bölünen sayının bölenin çarpma işlemine göre tersiyle çarpılmasıdır. Yani $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ biçiminde yazılır. Bölen sayı sıfır olamaz. Sonucu mümkünse en sade hâle getir.

Örnek 2: Sıcaklık Değişimi

Bir karışımın sıcaklığı dakikada $- \frac{5}{4}$ derece değişiyor. Soğutma işlemi $\frac{3}{2}$ dakika sürerse toplam değişim kaç derece olur?

Toplam değişim, bir dakikadaki değişim ile süre çarpılarak bulunur: $- \frac{5}{4} \times \frac{3}{2} = - \frac{15}{8}$ . Bu değer $- 1 \frac{7}{8}$ dereceye eşittir. Eksi işareti sıcaklığın azaldığını gösterir.

Örnek 3: Şişelere Paylaştırma

6 litre sirke, her biri $\frac{1}{2}$ litre alan şişelere dolduruluyor. Kaç şişe gerekir?

Şişe sayısı $6 \div \frac{1}{2}$ işlemiyle bulunur. Bölenin tersini alıp çarparsak $6 \times \frac{2}{1} = 12$ elde ederiz. Demek ki 12 şişe gerekir. Model olarak 6 bütünü iki eş parçaya ayırmak da aynı sonucu verir.

Üslü İfadeler ve İşlem Özellikleri

Bir rasyonel sayının kendisiyle tekrarlı çarpımı üslü ifadeyle kısaltılır. Örneğin $(\frac{2}{3})^{4}$ , dört tane $\frac{2}{3}$ sayısının çarpımıdır. Pozitif tabanın bütün kuvvetleri pozitiftir. Negatif tabanın çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. Parantez önemlidir: $(- 3)^{2} = 9$ , fakat $- 3^{2} = - 9$ olur.

Toplama ve çarpma işlemlerinde değişme ve birleşme özellikleri kullanılabilir. Çarpmanın toplama veya çıkarma üzerine dağılma özelliği de işlemi kolaylaştırır. Örneğin $\frac{3}{5} \times (2 - \frac{1}{2})$ ifadesini önce parantez içinde veya dağıtarak çözebilirsin. İki yolun sonucu aynı çıkmalıdır.

Toplama işleminde 0 etkisiz elemandır; $a + 0 = a$ olur. $a$ ile $- a$ birbirinin toplama işlemine göre tersidir. Çarpma işleminde 1 etkisiz elemandır. Sıfırdan farklı bir sayının çarpma işlemine göre tersi, o sayıyla çarpıldığında 1 veren sayıdır. Bu özellikler, uzun işlemleri kısaltır.

Problem Çözme Stratejisi

Problemi çözerken önce verilenleri ve isteneni ayır. Hangi sayıların miktar, değişim veya oran olduğunu belirle. Sonra durumu sayı cümlesine, şekle, tabloya veya sayı doğrusuna dönüştür. Bu temsil, seçtiğin işlemin problemle ilişkisini görmeni sağlar.

Çözümünü bitirince birim ve işaret kontrolü yap. Sonuç, problemdeki miktarla uyumlu mu diye düşün. MAT.7.1.4 kazanımı, farklı stratejileri karşılaştırmayı ve ulaştığın genellemenin her durumda geçerli olup olmadığını incelemeyi de önemser.

Örnek 4: Üst Üste Gelen Parçalar

Bir dalın uzunluğu $1 \frac{1}{2}$ metredir. İkinci dal, bundan $\frac{2}{3}$ metre daha uzundur. Dallar $\frac{1}{3}$ metre üst üste bağlanıyor. Elde edilen toplam uzunluk kaç metredir?

İkinci dalın uzunluğu $1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{9}{6} + \frac{4}{6} = \frac{13}{6}$ metredir. Üst üste gelen bölüm iki kez sayılmamalıdır. Bu nedenle toplam uzunluk $\frac{3}{2} + \frac{13}{6} - \frac{1}{3} = \frac{9}{6} + \frac{13}{6} - \frac{2}{6} = \frac{20}{6} = 3 \frac{1}{3}$ metredir. Çıkarma adımı, ortak bölümün bir kez çıkarılmasından kaynaklanır.

Örnek 5: Kalan Para

Yiğit, 1800 TL'sinin $\frac{1}{5}$ 'ini kitaba, $\frac{2}{9}$ 'unu sinemaya harcıyor. Kumbarasına kaç TL koyar?

Harcanan bölüm $\frac{1}{5} + \frac{2}{9} = \frac{9}{45} + \frac{10}{45} = \frac{19}{45}$ olur. Kalan bölüm $1 - \frac{19}{45} = \frac{26}{45}$ bulunur. Kalan para $1800 \times \frac{26}{45} = 40 \times 26 = 1040$ TL'dir. Kontrol için 360 TL ile 400 TL'yi toplar, 1800 TL'den çıkarırız.

Bir bütünün belli bir kısmının başka bir kısmını bulurken çarpma kullanılır. Bir miktarı eş parçalara ayırırken bölme kullanılır. Değişim problemlerinde başlangıç değerine pozitif veya negatif değişimleri eklemek gerekir. Bu ilişkileri fark ettiğinde işlem seçmek kolaylaşır.

Alan sorularında önce dikdörtgenin kenar uzunluklarını bul, sonra çarp. Bir halının belirli bölümleri art arda süpürülüyorsa süpürülen kısımları ayrı ayrı hesapla. Aynı bilgiyi bir şekil, tablo veya kesir modeliyle göstermek çözümü anlamanı ve kontrol etmeni kolaylaştırır.

Sık Yapılan Hatalar

İşlemin türünü belirlemeden doğrudan sayıları kullanmak sık görülür. Önce problemdeki ilişkiyi cümleyle açıkla. Ardından bu cümleyi matematiksel ifadeye dönüştür. Birimlerin aynı olduğundan da mutlaka emin ol.

Dikkat!

Paydaları eşitlemeden payları toplama veya çıkarma.
Bölme işleminde yalnızca paydaların yerini değiştirme; bölenin tamamının tersini al.
Negatif işareti tam sayı kısmında bırakma; tüm rasyonel sayıya aittir.
Üslü ifadelerde parantezi unutma.
Üst üste gelen uzunluğu toplamdan çıkarmayı ihmal etme.
Sonucu sadeleştirmeden ve birimini yazmadan bırakma.

Sonucu kontrol etmek için yaklaşık değerlerden de yararlanabilirsin. Örneğin $\frac{1}{2}$ litre şişelerle 6 litreyi doldururken 12’den çok farklı bir sonuç şüpheli olur. İşlemi ikinci bir yolla çözmek, özellikle problem sorularında güçlü bir kontroldür.

Özet

Rasyonel sayılar $\frac{a}{b}$ biçiminde yazılır ve $b \neq = 0$ olmalıdır. Toplama ile çıkarmada paydalar eşitlenir. Çarpmada paylar ve paydalar ayrı çarpılır. Bölmede bölenin çarpma işlemine göre tersiyle çarpılır.

Problem çözerken verilenleri ve isteneni belirle, uygun temsil seç, işlemi kur ve sonucu kontrol et. Pozitif ve negatif işaretleri, birimleri ve işlem özelliklerini dikkatle kullan. Üslü ifadelerde paranteze, problem modellerinde ise tekrar sayılan veya eksik kalan parçalara özellikle dikkat et.

Yayın: 8 Ağustos 2026

Tema

1. SAYILAR VE NİCELİKLER (1)

Öğrenme Çıktıları

4
MAT.7.1.4. Rasyonel sayılar ve işlemler içeren gerçek yaşam problemlerini çözebilme
- a) Rasyonel sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini içeren problemlerde sayı ve işlem bileşenlerini belirler.
- b) Rasyonel sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini içeren problemlerde istenenler ve seçilen işlemler arasındaki ilişkileri belirler.
- c) Rasyonel sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini içeren problemlerde problem bağlamını uygun temsillere (şekil, sayı doğrusu gibi) dönüştürür.
- ç) Kullanılan temsil üzerinden problemi kendi ifadeleri ile açıklar.
- d) Problemlerin çözümü için stratejiler oluşturur.
- e) Stratejileri işe koşarak problemi çözer.
- f) Problemin çözümünü kontrol eder.
- g) Problemlerin olası farklı çözüm stratejilerini inceler.
- ğ) Çözüme ulaştıran stratejilere uygun genellemeler yapar.
- h) Genellemelerin geçerliliğini değerlendirir.

Devam Et

Bu öğrenme çıktısıyla ilgili içerikler

Aynı kazanımı destekleyen diğer kaynaklara buradan geçebilirsin.

Yazı

Tam Sayılarla İşlemler ve Problem Çözme

Aç