7. sınıf tam sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini anlattık. TYMM uyumlu problemlerle ve konu anlatımı ile kendinizi bir adım ileriye götürün!
7 Ağustos 20268 dk okuma8 dk
Yayın: 7 Ağustos 2026
Tema
1. SAYILAR VE NİCELİKLER (1)
Öğrenme Çıktıları
4
MAT.7.1.4. Rasyonel sayılar ve işlemler içeren gerçek yaşam problemlerini çözebilme
a) Rasyonel sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini içeren problemlerde sayı ve işlem bileşenlerini belirler.
b) Rasyonel sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini içeren problemlerde istenenler ve seçilen işlemler arasındaki ilişkileri belirler.
c) Rasyonel sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini içeren problemlerde problem bağlamını uygun temsillere (şekil, sayı doğrusu gibi) dönüştürür.
ç) Kullanılan temsil üzerinden problemi kendi ifadeleri ile açıklar.
d) Problemlerin çözümü için stratejiler oluşturur.
e) Stratejileri işe koşarak problemi çözer.
f) Problemin çözümünü kontrol eder.
g) Problemlerin olası farklı çözüm stratejilerini inceler.
ğ) Çözüme ulaştıran stratejilere uygun genellemeler yapar.
h) Genellemelerin geçerliliğini değerlendirir.
Neden Öğreniyoruz?
Tam sayılar, günlük hayattaki artış ve azalışları anlatır. Hava sıcaklığı, banka bakiyesi ve katlar buna örnektir. Deniz seviyesinin üstü pozitif, altı negatif gösterilebilir. Böylece karmaşık görünen durumları matematik cümlesine dönüştürürüz.
Enerji tasarrufu, borç, puan ve zaman farkları da tam sayılarla açıklanır. İşlemleri doğru kurmak, problem çözmenin en önemli basamağıdır. Şimdi işaretleri anlamayı ve uygun işlemi seçmeyi öğreneceğiz.
Tam Sayılarla İşlemler
Tam sayılar; pozitif sayıları, negatif sayıları ve sıfırı kapsar. Pozitif sayılar sıfırın sağında, negatif sayılar solunda bulunur. Sayı doğrusunda sağa gittikçe değer büyür, sola gittikçe değer küçülür. Bir sayının sıfıra uzaklığı, o sayının mutlak değeridir. Örneğin ∣−7∣=7 ve ∣+5∣=5 olur.
Gerçek yaşam durumunu önce yön ve miktar bakımından incele. Artış, kazanç ve yukarı hareket genellikle pozitif yazılır. Azalış, borç ve aşağı hareket genellikle negatif yazılır. Sıfır, başlangıç veya değişimin olmadığı durumu gösterebilir. İşleme başlamadan önce sayıların neyi temsil ettiğini mutlaka yaz.
İşaretleri Günlük Yaşamla Eşleştirme
Her problemde bir başlangıç noktası veya referans kabul edilir. Deniz seviyesi, zemin katı ve sıfır bakiye bu referanslara örnektir. Referansın üstü veya kazanç pozitif olabilir. Referansın altı veya kayıp negatif olabilir. Önce referansı belirlemek, işaret seçimini kolaylaştırır.
Bir sayı yalnızca miktarı değil, yönü de anlatır. −6 kat, zeminin altı anlamına gelebilir. +6 kat, zeminin üstünü gösterebilir. İşaretin anlamı birim değişse de korunur. Sonucu mutlaka birimiyle yaz.
Tam Sayılarla Toplama
İki pozitif tam sayıyı toplarken mutlak değerleri toplarız. Sonucun işareti pozitif olur. İki negatif tam sayıyı toplarken mutlak değerleri toplarız. Sonucun işareti negatif olur. İşaretler farklıysa mutlak değeri büyük sayıdan küçüğü çıkarırız. Sonucun işareti, mutlak değeri büyük sayının işaretidir.
Toplama işlemini sayı doğrusu ile de düşünebilirsin. İlk sayı başlangıç noktandır. İkinci sayının işareti, hangi yöne gideceğini söyler. İkinci sayının mutlak değeri, kaç birim ilerleyeceğini gösterir. Bu model, özellikle farklı işaretli sayıları toplarken çok işe yarar.
Önemli Not
Sayı doğrusunda pozitif bir sayı eklemek sağa ilerlemektir. Negatif bir sayı eklemek sola ilerlemektir. Örneğin (−6)+(+9) işleminde, −6 noktasından dokuz birim sağa gideriz. Varılan nokta +3 olur.
Pozitif sayıların başındaki + işareti çoğu zaman yazılmaz. Negatif sayının başındaki - işareti mutlaka korunmalıdır.
Tam Sayılarla Çıkarma
Tam sayılarda çıkarma işlemini toplama işlemine dönüştürebiliriz. Bunun için çıkan sayının işaretini değiştiririz. Sonra toplama kurallarını uygularız. Kuralı şöyle yazabiliriz: a−b=a+(−b). Örneğin (−4)−(+7)=(−4)+(−7)=−11 olur. Negatif bir sayıyı çıkarmak, pozitif yönde ilerlemek anlamına gelir.
Çıkarma işlemi bir farkı veya iki konum arasındaki uzaklığı gösterebilir. Karabatak deniz seviyesinin 10 metre üstünde, balık ise 6 metre altındaysa fark 10−(−6) şeklindedir. Bu işlem 10+(+6) ile aynı sonucu verir. Konumlar farklı taraflarda olduğunda uzaklıklar toplanır.
İşlem İşaretiyle Sayı İşaretini Karıştırma
−4−5 ifadesinde ilk - işareti sayının işaretidir. İkinci - işareti çıkarma işlemini gösterir. Bu ifade (−4)−(+5) şeklinde düşünülmelidir. Sonuç −9 olur.
Özellikle negatif sayıları parantez içine almak hata yapmanı önler.
Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme
Çarpma işleminde önce mutlak değerleri çarparız. Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitiftir. Farklı işaretli iki sayının çarpımı negatiftir. Birden fazla çarpan varsa negatif çarpanları sayabilirsin. Negatif çarpan sayısı çiftse sonuç pozitif, tekse negatif olur.
Bölmede de işaret kuralı çarpmaya benzer. Aynı işaretli sayıların bölümü pozitif, farklı işaretli sayıların bölümü negatiftir. Bölme işleminde bölen sıfır olamaz. Sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü sıfırdır. İşlemi kontrol etmek için bölüm ile böleni çarpabilirsin.
Çarpma, aynı değişimin kaç kez tekrarlandığını gösterebilir. Her gün −4 litre su kullanılırsa beş günlük değişim 5⋅(−4) olur. Bölme ise toplam değişimi eşit gruplara ayırabilir. −450 TL borç üç eşit taksitte ödenirse her taksit (−450)÷3=−150 TL olarak yazılır.
İşaretleri Hızlı Kontrol Et
Çarpma veya bölmede önce işareti, sonra mutlak değeri hesapla. Örneğin (−24)÷(−6) işleminde iki işaret aynıdır. Sonuç pozitiftir ve 24÷6=4 bulunur. Sonuç +4 olur.
Toplama ve çıkarma işlemlerinde bu yöntem her zaman yeterli değildir. Bu işlemlerde sayı doğrusunu veya mutlak değer karşılaştırmasını kullanmalısın.
Tam Sayılarla Problem Çözme
Problem çözerken doğrudan işlem yapmaya çalışma. Önce verilen nicelikleri ve isteneni belirle. Her niceliğin artış mı, azalış mı olduğunu açıklığa kavuştur. Ardından sayı cümlesini kur ve uygun işlemi seç. İşlemi sayı doğrusu, tablo veya basit bir şema ile destekleyebilirsin.
Çözümünü kendi cümlelerinle anlatman, seçimini kontrol etmene yardım eder. Birden fazla işlem gerekiyorsa işlemlerin sırasını belirle. Sonucu tahmin et ve bulduğun değerle karşılaştır. Ters işlem, sayı doğrusu veya problem bağlamı ile son kontrolü yap.
Örneğin bir sıcaklık probleminde önce geçen zaman aralıklarını bulursun. Sonra her aralıktaki değişimi toplam değişime dönüştürürsün. Başlangıç sıcaklığına toplam değişimi ekleyerek sonuca ulaşırsın. Bu adımları yazmak, işlem sırasını karıştırmanı engeller.
Problemde tablo varsa satırları işlem sırasına göre takip et. Saat dilimlerinde önce şehirlerin UTC farkını karşılaştır. Puan problemlerinde doğru ve yanlış cevapları ayrı gruplandır. Borç problemlerinde yatırma ile çekme eylemlerini birbirinden ayır. Bu sınıflandırma, uygun işlem türünü görünür hâle getirir.
Problem Çözme Stratejileri
Enerji, puan ve bakiye problemlerinde değişimleri artı ve eksi olarak gruplayabilirsin. Sıcaklık ve derinlik problemlerinde başlangıç değerine tekrarlı değişimi eklersin. Zaman dilimlerinde iki UTC değerinin farkını kullanırsın. Kat ve yükselti problemlerinde yönü sayı doğrusu ile gösterirsin.
Aynı problemi işlem sırasını izleyerek veya toplam değişimleri gruplayarak çözebilirsin. İki yöntemin aynı sonucu vermesi çözümünü güçlendirir. Ulaştığın işaret kuralını farklı sayılarla denemek, genellemenin geçerliğini sınar. Böylece yalnızca cevap bulmaz, neden doğru olduğunu da açıklarsın.
Dört Adımlı Çözüm Planı
Birinci adımda verilenleri ve isteneni yaz. İkinci adımda yönleri işaretlerle göster. Üçüncü adımda uygun işlem ve temsili seç. Dördüncü adımda sonucu birimle yorumla ve ters işlemle kontrol et.
Bu plan, enerji, sıcaklık, puan, saat dilimi ve derinlik problemlerinde kullanılabilir. Problemin bağlamı değişse de düşünme sırası büyük ölçüde aynıdır.
Çözümlü Örnekler
Aşağıdaki örneklerde önce problem durumunu matematik diline çevireceğiz. Her çözümde işaretlerin anlamını ayrıca açıklayacağız. Bu yöntem, benzer sorularda doğru işlemi daha hızlı seçmeni sağlar.
Çözümleri incelerken yalnızca sonuca bakma. Verilenleri nasıl sınıflandırdığımıza ve işlemi neden seçtiğimize dikkat et. Son satırdaki kontrol adımını sen de kendi çözümlerinde kullan.
Örnek 1: Enerji Giderindeki Değişim
Bir aile gereksiz lambaları kapatarak 100 TL tasarruf ediyor. Gereksiz cihazları kapatınca 70 TL daha tasarruf ediyor. Çamaşır makinesi kullanımı ise gideri 60 TL artırıyor. Giderdeki toplam değişim nedir?
Tasarruf giderin azalmasıdır, bu nedenle negatiftir. Ek tüketim giderin artmasıdır, bu nedenle pozitiftir. Sayı cümlemiz (−100)+(−70)+(+60) olur. Önce tasarrufları birleştiririz: −170+60=−110. Gider 110 TL azalmıştır.
Kontrol: 100+70=170 TL tasarruf vardır. Bunun 60 TL’si ek tüketimle dengelenir. Kalan tasarruf 110 TL olur.
Örnek 2: Sayı Doğrusunda Toplama
(−8)+(+13) işlemini sayı doğrusu üzerinde açıklayınız.
Sayı doğrusunda önce −8 noktasına yerleşiriz. İkinci sayı pozitif olduğu için sağa ilerleriz. On üç birim sağa gidince +5 noktasına ulaşırız. Bu nedenle (−8)+(+13)=+5 olur.
Aynı sonucu işaret kuralıyla da bulabiliriz. Mutlak değerler çıkarılır: 13−8=5. Büyük mutlak değerli sayı pozitif olduğu için sonuç +5 olur.
Örnek 3: Çıkarma İşlemi
Bir hesabın bakiyesi −100 TL’dir. Hesaba 75 TL yatırılırsa yeni bakiye kaç TL olur? Aynı bakiyeden 75 TL çekilirse sonuç ne olur?
Para yatırmak bakiyeyi artırır. İlk işlem (−100)+(+75)=−25 TL olur. Para çekmek bakiyeyi azaltır. İkinci işlem (−100)−(+75)=(−100)+(−75)=−175 TL olur.
Burada aynı başlangıç değeri, farklı işlemlerle farklı sonuçlar verir. Bu nedenle problemdeki eylemi doğru okumak gerekir.
Örnek 4: Tekrarlı Değişim
Sıcaklığı +12 °C olan bir yiyecek, her on dakikada 3 °C soğuyor. Doksan dakika sonra sıcaklık kaç derece olur?
Doksan dakikada dokuz tane on dakikalık aralık vardır. Her aralıkta değişim −3 °C’tur. Toplam değişim 9⋅(−3)=−27 °C olur. Son sıcaklık 12+(−27)=−15 °C’tur.
Kontrol için sıcaklığın dokuz kez azalacağını düşünürüz. 12 dereceden 27 derece azalmak, −15 dereceye ulaşır.
Örnek 5: Saat Dilimi Problemi
İstanbul UTC+3, Tokyo UTC+9 saat dilimindedir. Tokyo’da saat 22.00 olduğunda İstanbul’da saat kaçtır?
İstanbul’un Tokyo’ya göre farkı (+3)−(+9)=−6 saattir. İstanbul, Tokyo’dan altı saat geridedir. Bu nedenle 22.00−6.00=16.00 bulunur. Tokyo’daki etkinlik İstanbul’da saat 16.00’da başlar.
Kontrol: İstanbul saati 16.00 iken altı saat ilerlersek Tokyo saatine ulaşırız. 16.00+6.00=22.00 olduğundan sonuç uygundur.
Örnek 6: Çarpma ve Bölme
Bir yarışmada her yanlış cevap −3 puandır. Yarışmacı altı soruyu yanlış cevaplamış, ardından 20 puan bonus almıştır. Son puanı kaçtır? Ayrıca −450 TL borcu üç eşit taksitte öderse bir taksit kaç TL olur?
Altı yanlış cevabın toplamı 6⋅(−3)=−18 puandır. Bonus pozitif olduğu için (−18)+(+20)=+2 bulunur. Yarışmacının son puanı +2 olur. Altı yanlışın toplam puanı, bir yanlışın puanının altı kez tekrarıdır.
Borç üç eşit taksite ayrılır: (−450)÷3=−150. Borcun işareti negatif, bölenin işareti pozitiftir. İşaretler farklı olduğu için taksit miktarı sayı cümlesinde −150 olarak gösterilir.
Sık Yapılan Hatalar
Dikkat Et!
İşaretleri görmeden mutlak değerleri işlemden geçirme. Önce işaretlerin anlamını belirle, sonra işlem yap. Çıkarma işleminde yalnızca sayının işaretini değil, çıkan sayının işaretini değiştir. Çarpma ve bölmede aynı işaretin pozitif, farklı işaretin negatif olduğunu unutma.
Problemde başlangıç değerini yanlış seçmek de yaygın bir hatadır. Derinlik, borç ve aşağı hareket çoğu zaman negatif yazılır. Sonucu bulduktan sonra birim ekle ve anlamını cümleyle açıkla.
Bir başka hata, çok adımlı işlemlerde değişim sayısını yanlış bulmaktır. Doksan dakika, dokuz tane on dakikalık aralık oluşturur. Bu aralık sayısını bulmadan çarpma yapmak doğru olmaz. Ayrıca sıfırla bölmenin tanımsız olduğunu kontrol etmeyi unutma.
Bazı öğrenciler sonucun işaretini yazmayı da unutabilir. Özellikle negatif sonuçlarda - işareti cevabın parçasıdır. Birim yazmamak, doğru sayısal sonucun anlamını eksik bırakır. Bu yüzden son cümleni problemdeki niceliğe göre kur.
Özet
Tam Sayılarla İşlemler ve Problem Çözme Özeti
Pozitif sayılar sıfırın sağında, negatif sayılar solundadır. Toplamada aynı işaretli sayıların mutlak değerleri toplanır. Farklı işaretli sayıların mutlak değerleri çıkarılır. Sonuç, mutlak değeri büyük sayının işaretini alır.
Çıkarma işlemi, ters işaretli sayıyı toplamak demektir: a−b=a+(−b). Çarpmada ve bölmede aynı işaret pozitif, farklı işaret negatiftir. Problem çözerken verilenleri, isteneni, işaretleri ve işlemi belirle. Sayı doğrusu veya tabloyla temsil kur, çözümünü kontrol et ve sonucu problem bağlamında yorumla.
En iyi çözüm, yalnızca doğru sonuca ulaştıran çözüm değildir. İşaretlerin neden seçildiğini ve işlemin neden uygun olduğunu da açıklar. Farklı stratejiler aynı sonuca ulaşıyorsa, aralarındaki ilişkiyi inceleyerek kendine uygun olanı seçebilirsin.